Norman Heinrich studierte nach mehrjähriger Berufstätigkeit als Diplomingenieur im Masterstudiengang Bühnen- und Kostümbild bei Prof. Peter Sykora an der TU Berlin. Im Rahmen eines Realisierungswettbewerbes wurde sein Bühnenbildentwurf für die Kinderoper Dr. Ox V5.1 umgesetzt.
Als Bühnenbildassistent war er nach dem Studium für zwei Spielzeiten am Berliner Ensemble unter Claus Peymann engagiert. Seit 2007 ist er freischaffend als Bühnen- und Kostümbildner tätig. Von Oktober 2012 bis November 2013 war Norman Heinrich kommissarischer Ausstattungsleiter am Theater Erfurt und entwarf u. a. das Bühnenbild für die Uraufführung der Oper Die Frauen der Toten von Alois Bröder. Am Leipziger Opernhaus realisierte er 2015 die Bühnenbilder für drei Spiegelzeltproduktionen und 2022 für Wagners Lohengrin. Seit 2017 ist er als Dozent im Masterstudiengang Bühnenbild_Szenischer Raum der TU Berlin tätig. Er leitet die Realisierungswettbewerbe Bühne + Kostüm für das Studio des Chemnitzer Schauspielhauses. Norman Heinrich ist auch mit eigenen Arbeiten regelmäßig am Theater Chemnitz zu Gast.